números naturales y enteros

los naturales

1. Conjunto de los números naturales (N)

Los números naturales son los que usamos para contar y ordenar:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, … }

Sistema decimal posicional: cada cifra vale 10 veces más que la situada a su derecha.
Recta numérica: cuanto más a la derecha, mayor es el número.

2. Operaciones básicas y propiedades

Operación	Propiedades clave	Ejemplo
Suma	conmutativa; asociativa; 0 es el elemento neutro
Resta	no conmutativa; restar = sumar el opuesto
Multiplicación	conmutativa y asociativa; distributiva sobre la suma; 1 es el elemento neutro
División	inversa de la multiplicación; no siempre exacta

Jerarquía de operaciones

Paréntesis, potencias y raíces
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas

3. Potencias de números naturales

Una potencia a^n indica multiplicar a por sí mismo n veces.

Producto: a^m · a^n = a^(m+n)
Cociente: a^m : a^n = a^(m-n)
Potencia de potencia: (a^m)^n = a^(m·n)

Notación científica: cualquier número se escribe como c·10^k con 1 ≤ c < 10 y k entero.

4. Raíz cuadrada de un número natural

La raíz √a es el número que multiplicado por sí mismo da a.
Solo los cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16…) tienen raíz exacta en N.

Ejemplo a completar: √25 = …

5. Múltiplos y divisores

Múltiplo de a: todo número de la forma a·k (k natural).
Divisor de a: número que lo divide exactamente.

Criterios rápidos:
· divisible por 2 → termina en cifra par
· divisible por 3 → suma de cifras múltiplo de 3
· etc.

6. Números primos y compuestos

Primo: solo divisible por 1 y por sí mismo (2, 3, 5, 7…).
Compuesto: tiene más de dos divisores (4, 6, 8…).
El 1 no es primo ni compuesto.

7. Factorización en primos

Todo número natural n > 1 puede escribirse como producto único de potencias de números primos.
Ejemplo a rellenar: 360 = 2^3 · 3^2 · 5

8. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

m.c.d. (a, b): mayor número que divide a ambos. Se eligen los factores comunes con menor exponente.
m.c.m. (a, b): menor número común a ambos. Se toman todos los factores (comunes y no comunes) con mayor exponente.

Método práctico: factorizar cada número en primos y aplicar las reglas.

¿qué hay de los enteros?

1. Conjunto de los números enteros (Z)

Los números enteros incluyen todos los naturales, el cero y sus correspondientes negativos:

Z = … , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …

Para qué sirven

Describir pérdidas o deudas (–5 €)
Temperaturas bajo cero (–8 °C)
Pisos subterráneos (–2) y plantas superiores (+4)

2. Recta numérica y comparación

En la recta, los positivos se sitúan a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda.
Cuanto más a la derecha, mayor es el número.
Ejemplo: –4 < –1 < 0 < 3.

3. Valor absoluto y opuesto

Valor absoluto de a (se escribe |a|): distancia al 0. Siempre positivo o 0.
|–5| = 5 |7| = 7
Opuesto de a: mismo valor absoluto y signo contrario.
opuesto de –8 es +8 opuesto de +3 es –3

4. Suma y resta de enteros

Regla de signos

Mismo signo
- Se suman los valores absolutos.
- El resultado mantiene el signo común.
  Ej.: (–6) + (–3) = –9
Signos distintos
- Se restan los valores absolutos.
- El resultado lleva el signo del número mayor en valor absoluto.
  Ej.: 9 + (–12) = –3

Restar es sumar el opuesto.
Ej.: 4 – (–7) = 4 + 7 = 11.

5. Multiplicación y división de enteros

Signo de los factores/dividendos	Signo del resultado
(+) × (+) o (+) : (+)	positivo
(–) × (–) o (–) : (–)	positivo
(+) × (–) o (+) : (–)	negativo
(–) × (+) o (–) : (+)	negativo

Ejemplos

(–4) × (–3) = 12 (+8) × (–2) = –16
(–15) : (–3) = 5 (+18) : (–6) = –3

6. Potencias con base entera

Exponente par → el resultado siempre es positivo.
(–3)² = 9
Exponente impar → el resultado conserva el signo de la base.
(–3)³ = –27

Reglas habituales

Producto: aᵐ · aⁿ = a^(m+n)
Cociente: aᵐ : aⁿ = a^(m–n)
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = a^(m·n)

7. Jerarquía de operaciones

Paréntesis
Potencias y raíces
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas

Ejemplo de aplicación
Calcular 3 – [ 2 – (–4) ] × (–2):

Paréntesis internos: 2 – (–4) = 6
Producto: 6 × (–2) = –12
Resta final: 3 – (–12) = 15

8. Propiedades útiles (suma y multiplicación)

Conmutativa: a + b = b + a ; a · b = b · a
Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro: 0 para la suma, 1 para la multiplicación
Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

9. Errores típicos a evitar

Cambiar la regla de signos en la resta (recordar sumar el opuesto).
Olvidar que dividir por cero no está definido.
Confundir valor absoluto con opuesto.