proporcionalidad y escalas
1. Razón
Una razón compara dos cantidades de la misma naturaleza.
Se escribe a : b o a/b y expresa “cuántas veces” contiene a la magnitud b.
Ejemplo → Si un mapa usa la razón 1 : 250 000, cada centímetro sobre el papel representa 250 000 cm en la realidad (2,5 km).
2. Proporción
Cuatro números a, b, c y d están en proporción si a : b = c : d.
Se verifican estas propiedades:
- Producto cruzado: a × d = b × c
- Cuarto proporcional: dados a, b, c se busca x tal que a : b = c : x.
> Fórmula práctica → x = (b × c) / a
3. Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una por un número k, la otra se multiplica (o divide) por el mismo k.
| A | B |
|---|---|
| 5 | 12 |
| 15 | 36 |
| 35 | 84 |
Cociente constante → B/A = 12/5 = 36/15 = 84/35 = k
Regla de tres directa
A₁ : A₂ = B₁ : B₂ → B₂ = (A₂ × B₁) / A₁
4. Magnitudes inversamente proporcionales
A y B son inversamente proporcionales si su producto es constante: A × B = k.
Al duplicar A, B se reduce a la mitad.
Regla de tres inversa
A₁ × B₁ = A₂ × B₂ → B₂ = (A₁ × B₁) / A₂
5. Porcentajes
- Porcentaje: p % de una cantidad C = (p / 100) · C
- Aumentar un p %: C · (1 + p/100)
- Disminuir un p %: C · (1 – p/100)
6. Escala en planos y mapas
Una escala es la razón E = distancia en el plano / distancia real.
- Escala 1 : 50 000 → 1 cm en el plano = 50 000 cm en la realidad (500 m).
- Distancia real = distancia en el plano ÷ E
- Distancia en el plano = distancia real × E
7. Media proporcional
Entre a y b positivos, la media proporcional x cumple a : x = x : b → x² = a·b.
8. Errores frecuentes
Interpretar mal la escala (leer 1 : 1000 como 1 m = 1000 m).
Confundir regla directa e inversa.
Sumar denominadores al sumar fracciones de porcentaje.
Usar diferentes unidades sin convertir (km ↔ m, horas ↔ minutos).