1. El conjunto de los números reales (ℝ)

1.1 Clasificación rápida

• Naturales: 0, 1, 2, 3… (contar y ordenar).
• Enteros: … –3, –2, –1, 0, 1… (incluyen negativos).
• Racionales: fracciones p/q con q≠0 (–3/4, 2/5, 1, 0, 7…).
• Irracionales: decimales infinitos no periódicos (√2, π, e).

1.2 Recta real
Colocamos todos los tipos en una misma línea: a la derecha crecen, a la izquierda decrecen. Permite hablar de intervalos abiertos (a, b), cerrados [a, b] y semiabiertos.

1.3 Valor absoluto y distancia
|a| = distancia de a al 0. Ej.: |–4.5| = 4.5.
Se usa para definir la cercanía entre dos reales: distancia d(a, b) = |a – b|.

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2. Radicales (raíces)

2.1 Raíz n‐ésima
√[n]a es el número r tal que r^n = a.

• Si n es par, a debe ser ≥ 0 (√–4 no está en ℝ).
• Si n es impar, la raíz de un negativo es negativa: √3 = –2.

2.2 Propiedades operativas

Regla	Ejemplo	Resultado
Producto	√6 × √3	√18 → 3√2
Cociente	√(50 / 2)	√25 → 5
Sacar factor	√72	√(36×2) → 6√2
Meter factor	4√5	√(16×5) → √80

2.3 Suma y resta
Solo se combinan radicales con mismo índice y radicando:
2√3 + 5√3 – √3 = 6√3.

2.4 Racionalización de denominadores

Caso	Paso	Resultado
Un término	1 / √5 → ×√5/√5	√5 / 5
Binomio	1 / (3 + √2) → ×(3–√2)/(3–√2)	(3–√2) / 7

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3. Potencias con exponente racional

3.1 Definición
a^(p/q) se lee “raíz q-ésima de a elevado a p”:
27^(2/3) = √[3]27^2 = √[3]729 = 9.

3.2 Leyes de los exponentes (válidas para enteros y fracciones)

Ley	Ejemplo	Resultado
Suma de exponentes	3^1 × 3^1/2	3^(1+1/2) = 3^1.5
Resta (cociente)	5^3 / 5^1	5^(3–1) = 5^2
Potencia de potencia	(4^1/2)^3	4^(1/2×3) = 4^1.5

3.3 Potencias de base negativa

• Si exponente es fracción con denominador par, no existe en ℝ
• Si denominador es impar, resultado negativo: (–8)^(1/3) = –2.

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4. Notación científica y órdenes de magnitud

Cantidad	Forma científica	Lectura
0.000 56	5.6 × 10^-4	“cinco coma seis por diez a menos cuatro”
4 300 000	4.3 × 10^6	“cuatro coma tres por diez a seis”

• Producto rápido: multiplica cifras significativas; suma exponentes.
• División: resta exponentes.

Ej.: (3.2 × 10^5) × (2 × 10^-3) = 6.4 × 10^2.

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5. Jerarquía de operaciones

1. Paréntesis
2. Potencias y raíces
3. Multiplicaciones y divisiones
4. Sumas y restas

Ejemplo: 5 – 2√9 + 3^2 → 5 – 2·3 + 9 = 5 – 6 + 9 = 8.

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6. Aplicaciones reales breves

• Escalas y densidades: masa = densidad × volumen, se manejan potencias de 10.
• Física: periodo de un péndulo T = 2π√(L/g) (contiene raíz).
• Finanzas: interés compuesto A = C(1 + r)^t (exponente racional si t fraccionario).

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7. Errores frecuentes y cómo evitarlos

Error	Por qué ocurre	Forma de evitar
√(a+b) => √a + √b	Propiedad inválida	Factoriza o usa números reales antes de radical
Olvidar valor absoluto en √(a^2)	El resultado debe ser no negativo	Sustituye con
No racionalizar y dejar divisiones con raíces	Resta claridad y puntos en exámenes	Aplica tabla de racion