1. ¿Qué es un sistema lineal 2 × 2?

Conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x y y).
Forma general:

a₁·x + b₁·y = c₁  
a₂·x + b₂·y = c₂

Resolverlo significa encontrar la pareja (x, y) que cumple simultáneamente ambas igualdades.

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2. Interpretación geométrica

Cada ecuación es una recta en el plano. Al estudiar su posición relativa obtenemos:

Caso	Rectas	Nº de soluciones	Nombre
Se cortan	Distinta pendiente	1	Sistema compatible determinado
Son paralelas	Pendientes iguales, ordenadas distintas	0	Sistema incompatible
Coinciden	Pendientes y ordenadas iguales	Infinitas	Sistema compatible indeterminado

(La pendiente m se calcula como –a/b si la ecuación está en forma ax + by = c.)

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3. Métodos de resolución

3.1 Sustitución

1. Despeja una incógnita en la ecuación más sencilla.
2. Sustituye esa expresión en la otra.
3. Obtén el valor de la primera incógnita y vuelve para la segunda.

Ejemplo

x + 2y = 5  →  x = 5 – 2y  
3x – y = 4  →  3(5 – 2y) – y = 4 → 15 – 6y – y = 4 →  –7y = –11 → y = 11/7  
x = 5 – 2(11/7) = 13/7

3.2 Igualación

1. Aisla la misma incógnita (x o y) en ambas ecuaciones.
2. Igualas las dos expresiones y resuelves.

Ejemplo

y = 6 – 2x  
y = 3x – 4  
→ 6 – 2x = 3x – 4 → 5x = 10 → x = 2 → y = 2

3.3 Reducción (eliminación)

1. Multiplica las ecuaciones para que el coeficiente de una incógnita sea el mismo (o opuesto).
2. Suma o resta las ecuaciones y la incógnita desaparece.

Ejemplo

2x + 3y = 8  
5x – 3y = 1  
(Sumamos)  7x = 9 → x = 9/7 → y = (8 – 2x)/3 = 2/3

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4. Resumen visual de los métodos

Paso clave	Sustitución	Igualación	Reducción
Aislar incógnita	1 ecuación	ambas	multiplicación previa
Sustituir / igualar	en la otra ecuación	expresiones iguales	sumar / restar
Mejor cuando…	coef. 1 o ±1	incógnitas fáciles de aislar	coef. enteros “bonitos”

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5. Comprobación de la solución

Siempre sustituye (x, y) en ambas ecuaciones originales.

• Si cumple las dos → correcta.
• Si falla una → error de cálculo.

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6. Problemas tipo y planteamiento

Contexto	Planteamiento estándar
Edades	“Dentro de 4 años, Ana tendrá el doble que Ben.” Define x = edad Ana ahora, y = edad Ben ahora.
Mezclas	“Se combinan cafés de 8 €/kg y 12 €/kg para obtener 5 kg a 10 €/kg.” Define x, y kg de cada tipo.
Viajes	“Dos coches salen a la vez… uno va 30 km/h más rápido…” x = velocidad lenta, y = distancia…

Pasos:

1. Elige las incógnitas.
2. Traduce “es”, “tiene”, “cuesta” a “=”.
3. Traduce “más que”, “menos que”, “doble”, “mitad” a sumas o multiplicaciones.
4. Resuelve con el método que menos fracciones genere.

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7. Errores frecuentes y cómo evitarlos

Error	Por qué ocurre	Solución práctica
No multiplicar TODO al aplicar reducción	Olvidar el término independiente	Señala con flecha qué número multiplica y hazlo también al c.
Signo cambiado al trasladar término	Falta de cuidado con “–”	Escribe paso intermedio: –2y pasa como +2y, etc.
Descuidar fracciones	Se vuelven engorrosas	Multiplica por m.c.m. denominadores para limpiar.