polinomios y factorización
1. Vocabulario básico
| Término | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Monomio | producto de número (coeficiente) y variables con exponentes naturales | 5x^3 y –2ab^2 |
| Polinomio | suma (o resta) de monomios | 3x^3 – 2x^2 + 7 |
| Grado | exponente más alto de la variable | 4x^5 – x^2 (grado 5) |
| Coeficiente | número que multiplica la parte literal | en –6x^2 coef. –6 |
| Término independiente | término sin variables | +7 en 2x – 5y + 7 |
2. Operaciones con polinomios
2.1 Suma y resta
Agrupa términos semejantes (misma parte literal).
(2x^2 + 3x – 5) + (–x^2 + 4x + 8) → (2x^2 – x^2) + (3x + 4x) + (–5 + 8) = x^2 + 7x + 3
2.2 Producto (distributiva)
Multiplica cada término de uno por todos los del otro.
(x + 3)(2x – 5) → 2x^2 – 5x + 6x – 15 → 2x^2 + x – 15
2.3 Productos notables
| Fórmula | Desarrollo | Uso rápido |
|---|---|---|
| (a + b)^2 | a^2 + 2ab + b^2 | cuadrado de binomio |
| (a – b)^2 | a^2 – 2ab + b^2 | — |
| (a + b)(a – b) | a^2 – b^2 | diferencia de cuadrados |
| (a + b)^3 | a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 | cubo perfecto |
| (a – b)^3 | a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 | — |
Estos patrones ahorran pasos y aparecen en ejercicios de factorización.
3. División de polinomios
3.1 Caso especial: división entre (x – k)
Usa regla de Ruffini (también llamada división sintética).
| Paso | Acción | Ejemplo P(x)=2x^3–3x^2+4x–5 entre (x–2) |
|---|---|---|
| 1 | Escribe coeficientes | 2 –3 4 –5 |
| 2 | Baja el 2 | 2 |
| 3 | Multiplica 2×2 y suma | –3+4 → 1 |
| 4 | Repite hasta resto | resto –3 |
Resultado: cociente 2x^2 + x + 2 y resto –3.
Teorema del resto → P(2) = –3 (comprueba en un paso si (x–k) es factor).
4. Factor común y otros métodos de factorización
4.1 Sacar factor común
Siempre verifica primero:
6x^3 – 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 – 3x + 1)
4.2 Agrupación
Agrupa términos para factor común parcial:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
4.3 Trinomio ax^2 + bx + c (a=1)
Encuentra dos números que sumen b y multipliquen c.
x^2 + 8x + 12 → (+2)(+6) → (x + 2)(x + 6)
4.4 Trinomio general ax^2 + bx + c (a ≠ 1)
Método “a·c”:
- Multiplica a·c.
- Busca pareja que sume b.
- Divide por a si hace falta y ajusta.
6x^2 + 7x – 3 → 6·(–3)= –18 → +9 y –2 →
6x^2 + 9x – 2x – 3 → agrupa → 3x(2x + 3) –1(2x + 3) → (2x + 3)(3x – 1)
4.5 Diferencia de cuadrados
a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) → 9x^2 – 16 = (3x + 4)(3x – 4)
4.6 Suma y diferencia de cubos
| Expresión | Factorización |
|---|---|
| a^3 + b^3 | (a + b)(a^2 – ab + b^2) |
| a^3 – b^3 | (a – b)(a^2 + ab + b^2) |
5. Factorización completa: estrategia general
- Factor común global
- Productos notables (cuadrados o cubos perfectos).
- Diferencia de cuadrados.
- Trinomio (busca pareja).
- Regla de Ruffini para raíces enteras restantes.
Repite hasta que todos los factores sean irreducibles de primer o segundo grado.
6. Aplicaciones de la factorización
| Contexto | Por qué ayuda |
|---|---|
| Ecuaciones | Factorizar P(x)=0 permite usar propiedad cero: cada factor = 0. |
| Fracciones algebraicas | Simplificar al detectar factores iguales en numerador y denominador. |
| Área / volumen | Modelar áreas con incógnitas y descomponer para hallar dimensiones. |
| Divisibilidad | Si P(k)=0 → (x–k) divide a P(x) sin resto. |
7. Errores frecuentes y cómo prevenirlos
| Error | Cómo surge | Antídoto |
|---|---|---|
| Olvidar factor común máximo | Se salta el primer paso | Repasa coeficientes y letras: el MCD puede ser numérico y literal |
| Cambiar signos al agrupar | Falta de paréntesis | Escribe paso intermedio completo antes de “quitar” paréntesis |
| Confundir b^2 con 2ab en (a+b)^2 | Aplicar mal producto notable | Copia la plantilla del notable al margen, luego sustituye letras |