1. Sistema de coordenadas y fórmulas esenciales

Herramienta	Fórmula	Ejemplo
Distancia P1(x1,y1)   P2(x2,y2)	d = √[(x2–x1)^2 + (y2–y1)^2]	P1(1,2), P2(4,6) → d = 5
Punto medio	M = ( (x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 )	—
Pendiente recta PQ	m = (y2–y1)/(x2–x1) (x2≠x1)	—

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2. Ecuaciones de la recta

Forma	Ecuación	Cuándo usarla
Punto-pendiente	y – y0 = m(x – x0)	conoces m y un punto
Pendiente-ordenada	y = m x + n	lees n (corte Y) al instante
General	Ax + By + C = 0	para operaciones algebraicas
Segmentaria	x/a + y/b = 1	a y b son cortes con ejes
Vector-param.	r = r0 + λ·v	con vectores en 2 D / 3 D

2.1 Rectas paralelas y perpendiculares

• Paralelas → m1 = m2
• Perpendiculares → m1 × m2 = –1

2.2 Distancia punto-recta (Ax + By + C = 0)
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

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3. Circunferencia

3.1 Ecuación canónica
(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 (Centro (h,k) y radio r)

3.2 Ecuación general
x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0

• Centro = (–D/2, –E/2)
• Radio^2 = (D^2 + E^2)/4 – F

3.3 Posición relativa

Punto P	Criterio	Resultado
P sobre	d = r	Tangente
P dentro	d < r	Interior
P fuera	d > r	Exterior

(d = distancia PCentro)

3.4 Recta tangente en P(x1,y1) (P sobre la circunferencia)
(x1–h)(x – h) + (y1–k)(y – k) = r^2

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4. Cónicas básicas (ejes paralelos a coordenadas, centro u origen)

Cónica	Ecuación “simple”	Datos clave
Parábola	y^2 = 4p x  o  x^2 = 4p y	Vértice en origen; foco (p,0) o (0,p)
Elipse	x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b)	Semiejes a (mayor) y b (menor); c^2 = a^2–b^2; e = c/a (<1)
Hipérbola	x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1	Centro, semiejes a y b; c^2 = a^2+b^2; e = c/a (>1)

4.1 Traslación de ejes
(x – h) y (y – k) reemplazan x, y para trasladar el centro a (h,k).

4.2 Reconocer la cónica general
Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

A y C	Cónica
A = C ≠ 0	Circunferencia
A = C = 0	Parábola
A·C > 0 (≠)	Elipse
A·C < 0	Hipérbola

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5. Problemas tipo

Pregunta	Pasos rápidos
Recta por dos puntos	calcula m → usa punto-pendiente
Recta paralela/perp. que pasa por P	m (igual o –1/m) + punto-pendiente
Circunferencia por 3 puntos	resuelve sistema con la forma general
Parábola con foco F y directriz d	usa definición distancia PF = distancia a d
Elipse con focos y vértices	halla c, luego a → b por c^2 = a^2–b^2

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6. Errores frecuentes

Error	Cómo evitarlo
Olvidar ± en √ al hallar radio o c	Escribe “radio = √( … )” antes de numérico
Confundir coef. en general de circunf.	A y C deben ser = y ≠ 0
Restar en hipérbola con signos al revés	Ordena siempre “x²/a² – y²/b² = 1” o viceversa
Discriminar cónica solo con signo de A	Revisa también C y el término cruzado xy (aquí es 0)