1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1. Idea básica del límite

• Decimos que lim_{x→a} f(x) = L cuando los valores de f(x) se acercan tanto como queramos a L al tomar x tan próximo como queramos a a.
• Si sólo nos acercamos por la izquierda (x→a^-) o por la derecha (x→a^+) hablamos de límites laterales. El límite existe ⇔ ambos laterales existen y son iguales.

2. Límites finitos en puntos finitos

1. Sustitución directa
   • Polinomios, cocientes de polinomios con denominador ≠ 0 en a, exponenciales, sen y cos son continuas ⇒ basta sustituir x=a.
2. Factorización / cancelación
   • Si aparece 0/0, factoriza y simplifica:
     lim_{x→3} (x^2−9)/(x−3) = lim_{x→3} (x−3)(x+3)/(x−3) = 6.
3. Racionalización
   • Para raíces cuadradas:
     lim_{x→0} (sqrt{x+1} − 1)/x → racionaliza ⇒ 1/(sqrt{x+1}+1) = 1/2.
4. Cambio trigonométrico típico
   • lim_{x→0} sin(x)/x = 1 (y sus “variantes” con escala: lim_{x→0} sin(kx)/(kx) = 1).

3. Límites infinitos y en el infinito

Caso	Estrategia rápida	Ejemplo
x→ax→ax→a con denominador → 0 y numerador ≠ 0	Estudia el signo para ver si tiende a +∞ o -∞.	lim_{x→2^-} 3/(x−2) = -∞.
x→±∞x→±∞x→±∞ en racionales	Compara grados nnn (arriba) y mmm (abajo)	• n<m ⇒ límite 0. • n=m ⇒ coef.Ppal/coef.Ppal. • n>m ⇒ ±∞ (o asíntota oblicua).
Exponenciales	e^{kx} domina sobre cualquier potencia de x.	lim_{x→∞} x^5 e^{-x} = 0.

4. Formas indeterminadas frecuentes

Forma	Técnica típica	Mini-ejemplo
0/0	Factorizar, racionalizar, regla de L’Hôpital	lim_{x→1} (x^2−1)/(x−1)=2
∞/∞	Dividir por la mayor potencia, L’Hôpital	lim_{x→∞} (2x^2+1)/(x^2−3)=2
0·∞	Reescribir como cociente	x·ln(x) = ln(x)/(1/x)
1^∞, 0^0, ∞^0	Logaritmos: ln L = lim g(x) ln f(x)	lim_{x→0^+} (1+x)^{1/x}=e

5. Continuidad en un punto
Una función f es continua en x=a si:

1. f(a) está definida.
2. Existe lim_{x→a} f(x).
3. Ambos coinciden: lim_{x→a} f(x) = f(a).

Clasificación rápida de discontinuidades:

Tipo	Qué pasa	Ejemplo sencillo
Evitable	Límite existe pero f(a) no está o es distinto	f(x)=(x^2−1)/(x−1) en x=1
De salto	Límites laterales finitos pero distintos	f(x)=1 si x<0, 2 si x≥0
Infinita	Algún lateral → ±∞	1/(x−2) en x=2

6. Asíntotas

• Verticales: raíz del denominador ⇒ comprueba si lim_{x→a^±} f(x) = ±∞.
• Horizontales: y=k si lim_{x→±∞} f(x) = k.
• Oblicuas (grado num = grado den + 1): divide polinomios → y=mx+n.

7. Pequeño resumen de propiedades útiles

• Linealidad: lim (af+bg)= a·lim f + b·lim g.
• Producto y cociente (si el límite del denom ≠ 0).
• Teorema del sandwich: si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) y lim g = lim h = L, entonces lim f = L.
• Una función continua en a,ba,ba,b toma todos los valores intermedios (Teorema de Bolzano).