1. ¿Por qué derivar?
La derivada mide la velocidad de cambio instantánea de una función:
- Pendiente de la recta tangente.
- Ritmo de variación (física: velocidad, aceleración).
- Herramienta clave para optimizar recursos y analizar gráficos.
2. Definición formal y notación
| Definición límite | Notaciones habituales |
|---|---|
| f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\displaystyle \lim_{h→0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a) | f′(x), y′, dydxf'(x),\; y’,\; \dfrac{dy}{dx}f′(x),y′,dxdy |
Contexto – se sustituye el incremento “pequeñísimo” hhh por 0 para capturar el cambio en ese punto.
3. Reglas de derivación (catálogo indispensable)
| Regla | Fórmula | Ejemplo rápido |
|---|---|---|
| Potencia | d(x^n)/dx = n x^{n−1} | (x^5)’ = 5x^4 |
| Constante × función | (k f)’ = k f’ | 7 sin x → 7 cos x |
| Suma / resta | (f±g)’ = f’ ± g’ | (x^3 + e^x)’ = 3x^2 + e^x |
| Producto | (fg)’ = f’g + fg’ | (x^2·ln x)’ = 2x ln x + x |
| Cociente | (f/g)’ = (f’g − fg’) / g^2 | (tan x)’ = sec^2 x |
| Cadena | (f(g(x)))’ = f'(g)·g’ | (sin(3x^2))’ = cos(3x^2)·6x |
| Implícita | deriva ambos lados y aísla y’ | x^2 + y^2 = 25 ⇒ 2x + 2y y’ = 0 |
Derivadas básicas
- (e^x)’ = e^x ; (ln x)’ = 1/x
- (sin x)’ = cos x ; (cos x)’ = –sin x
- (a^x)’ = a^x ln a.
4. Derivada de orden superior
f''(x) = derivada de la derivada (aceleración, concavidad).
En general f^(n) indica n-ésima derivada.
5. Aplicaciones gráficas
| Concepto | Criterio con f’ o f» | Interpretación |
|---|---|---|
| Crecimiento | f'(x) > 0 | sube |
| Decrecimiento | f'(x) < 0 | baja |
| Máx./Mín. local | f'(c)=0 y cambia de signo | pico o valle |
| Concavidad | f» > 0 concava ↑ ; f»< 0 concava ↓ | “tazón” / “cerro” |
| Punto de inflexión | f» cambia de signo | cambia la curvatura |
Procedimiento estándar
- Derivada primera → igualar a 0 = candidatos.
- Tabla de signos o f»(c).
- Derivada segunda → concavidad + inflexiones.
6. Recta tangente y normal en P(a, f(a))
| Recta | Ecuación | Uso |
|---|---|---|
| Tangente | y−f(a)=f′(a)(x−a)y − f(a) = f'(a)(x − a)y−f(a)=f′(a)(x−a) | aproximaciones locales |
| Normal | pendiente = –1/f'(a) (si f'(a)≠0) | trayectorias ortogonales |
(Contexto: la normal en óptica refleja la luz, la tangente aproxima una curva con línea recta.)
7. Optimización básica (máximos / mínimos aplicados)
- Expresar la cantidad a optimizar en función de una sola variable.
- Derivar → igualar a 0.
- Verificar con test de la segunda derivada o tabla de signos.
- Contestar con unidades y sentido físico.
Ejemplo
Diseña un recinto rectangular con 60 m de valla para máxima área.
- A = x(60−2x). A’ = 60−4x = 0 → x = 15 m.
- Máx. porque A» = –4 < 0. Dimensiones 15 m × 30 m.
8. Movimiento unidimensional
| Magnitud | Relación | Comentario |
|---|---|---|
| Posición s(t) | — | función dada |
| Velocidad v(t) | v = s'(t) | cambio de posición |
| Aceleración a(t) | a = v'(t) = s»(t) | cambio de velocidad |
(Física básica de un objeto en línea recta.)
9. Errores frecuentes
| Error | Corrección práctica |
|---|---|
| Aplicar cadena sin multiplicar por derivada interna | Escribe “× g’ ” en rojo o marcador |
| Olvidar paréntesis en cociente | Pon numerador entre ( ) antes de derivar |
| Confundir máximos con puntos donde f’ = 0 pero no cambia signo | Usar tabla de signos alrededor de la raíz |
| Ignorar dominio al optimizar | Revisa restricciones (longitudes ≥ 0, tiempos positivos…) |