1. El vector plano: “flecha” con dos números
Un vector v⃗\vec vv se representa como un segmento orientado. En coordenadas cartesianas basta el par (v₁, v₂): de (0,0)(0,0)(0,0) al punto final.
- Módulo (longitud) ∣v⃗∣=√(v12+v22)|\vec v|=√(v₁²+v₂²)∣v∣=√(v12+v22).
- Dirección inclinación respecto al eje X: tanα=v2/v1\tan α=v₂/v₁tanα=v2/v1.
- Versor u^=v⃗/∣v⃗∣\hat u = \vec v/|\vec v|u^=v/∣v∣ (misma dirección, longitud 1).
Contexto – Vectores resumen desplazamientos, fuerzas, velocidades sin repetir toda la historia de la trayectoria.
2. Operaciones vectoriales esenciales
| Acción | Fórmula | Significado geométrico |
|---|---|---|
| Suma | (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1, a2+b2)(a₁,a₂)+(b₁,b₂)=(a₁+b₁,\;a₂+b₂)(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2) | Regla del paralelogramo |
| Producto por escalar k | k(a1,a2)=(ka1,ka2)k(a₁,a₂)=(ka₁,ka₂)k(a1,a2)=(ka1,ka2) | Alarga/encoge sin rotar |
| Producto escalar | a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec a·\vec b = a₁b₁+a₂b₂a⋅b=a1b1+a2b2 | ( |
| Ortogonalidad | a⃗⋅b⃗=0\vec a·\vec b = 0a⋅b=0 | Vectores perpendiculares |
3. Posición y desplazamiento
- Vector de posición de P(x,y): OP⃗=(x,y)\vec{OP}=(x,y)OP=(x,y).
- Vector desplazamiento entre P(x₁,y₁) y Q(x₂,y₂): PQ⃗=(x2−x1, y2−y1)\vec{PQ}=(x₂−x₁,\,y₂−y₁)PQ=(x2−x1,y2−y1).
Uso – traducir problemas “desde A hasta B” directamente a coordenadas.
4. Rectas: todas las ecuaciones en lenguaje vector
| Forma | Ecuación | Datos necesarios |
|---|---|---|
| Vectorial | r⃗=r⃗0+λd⃗\; \vec r = \vec r_0 + λ\vec dr=r0+λd | punto P0(x0,y0)P_0(x₀,y₀)P0(x0,y0) y vector director d⃗\vec dd |
| Paramétrica | x=x0+λd1, y=y0+λd2\; x = x₀ + λd₁,\; y = y₀ + λd₂x=x0+λd1,y=y0+λd2 | directo para tablas |
| Continua | x−x0d1=y−y0d2\; \dfrac{x-x₀}{d₁} = \dfrac{y-y₀}{d₂}d1x−x0=d2y−y0 | evita parámetro |
| General | Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0 con A= d2, B=−d1A=\!d₂,\;B=-d₁A=d2,B=−d1 | fácil hallar distancia |
Relaciones rápidas
- Paralelas → vectores directores proporcionales.
- Perpendiculares → d⃗1⋅d⃗2=0\vec d_1·\vec d_2=0d1⋅d2=0.
- Ángulo entre rectas → usa cos θ = ∣d⃗1⋅d⃗2∣/(∣d⃗1∣∣d⃗2∣)|\vec d_1·\vec d_2|/(|\vec d_1||\vec d_2|)∣d1⋅d2∣/(∣d1∣∣d2∣).
5. Distancias con vectores
| Distancia | Fórmula cómoda | Paso previo |
|---|---|---|
| Punto a recta Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0 | (d=\dfrac{ | Ax₀+By₀+C |
| Entre rectas paralelas Ax+By+C1=0Ax+By+C₁=0Ax+By+C1=0 y …+C2=0…+C₂=0…+C2=0 | (d= | C₂−C₁ |
(Derivan de proyectar el vector que une un punto a la recta sobre el normal (A,B).)
6. Circunferencias vía vectores
Definición – conjunto de puntos cuya distancia (vectorial) al centro es constante r.
- Ecuación canónica (x−h)2+(y−k)2=r2(x−h)² + (y−k)² = r²(x−h)2+(y−k)2=r2.
- Ecuación general x2+y2+Dx+Ey+F=0x²+y²+Dx+Ey+F=0x2+y2+Dx+Ey+F=0 →
Centro (−D/2,−E/2)(−D/2,−E/2)(−D/2,−E/2), r2=(D2+E2)/4−Fr² = (D²+E²)/4−Fr2=(D2+E2)/4−F.
Recta tangente en P
Usa que OP⃗⋅OC⃗=r2\vec{OP}·\vec{OC} = r²OP⋅OC=r2 (producto escalar con normal radial).
Potencia de un punto
Π=OP2−r2Π = OP² − r²Π=OP2−r2: útil para encontrar longitud de segmento tangente.
7. Aplicaciones combinadas
| Problema | Esquema vectorial |
|---|---|
| Fuerza descompuesta | proyecta F⃗\vec FF sobre ejes con dot product. |
| Trayectoria rectilínea | posición r⃗(t)=r⃗0+v⃗t \vec r(t)=\vec r_0 + \vec v tr(t)=r0+vt. |
| Radio de giro | distancia de punto a línea central. |
| Construir tangente desde punto exterior | potencia + intersección recta-radical. |
8. Errores frecuentes y recordatorios
| Error | Corrección clara |
|---|---|
| Usar vector director como (A,B) cuando A,B salen de la forma general | Vector director es (−B,A)(-B,A)(−B,A) en Ax+By+C=0 |
| Confundir módulo con componente | Pon barra vertical ∣ ∣ para módulo |
| Olvidar signo en distancia (usar valor absoluto) | Fórmula lleva barras: |
| Suponer tangencia sin comprobar | Verifica que distancia punto-centro = r |