1. ¿Por qué integrar?

• Primitiva (integral indefinida) = “operación inversa” de derivar; recupera la función original a partir de su ritmo de cambio.
• Integral definida = “acumulador”: suma infinitas áreas de rectángulos muy finos. Permite:
  • Área bajo la curva.
  • Longitudes, volúmenes y trabajo físico.
  • Cambio neto de capital o población (integral de una tasa).

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2. Primitivas: reglas imprescindibles

Regla básica	Fórmula	Ejemplo rápido
Potencia	∫xn dx=x n+1n+1+C\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + C∫xndx=n+1xn+1​+C (n ≠ –1)	∫x4dx=x5/5+C∫x^4 dx = x^5/5 + C∫x4dx=x5/5+C
Raíz	∫xα dx∫ x^{α}\,dx∫xαdx con α > –1	∫√x dx=2×3/2/3+C∫√x\,dx = 2x^{3/2}/3 + C∫√xdx=2×3/2/3+C
seno/coseno	∫sin⁡kx=−cos⁡kx/k∫\sin kx = -\cos kx /k∫sinkx=−coskx/k	∫3sin⁡3x dx=−cos⁡3x+C∫3\sin 3x\,dx = -\cos 3x + C∫3sin3xdx=−cos3x+C
exponencial	∫ekx=ekx/k∫e^{kx} = e^{kx}/k∫ekx=ekx/k	∫4e4xdx=e4x+C∫4e^{4x} dx = e^{4x} + C∫4e4xdx=e4x+C
logarítmica	(∫1/x,dx = \ln	x

Linealidad ∫(af+bg) dx=a∫f dx+b∫g dx∫(af+bg)\,dx = a∫f\,dx + b∫g\,dx∫(af+bg)dx=a∫fdx+b∫gdx

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3. Métodos prácticos para primitivas “no directas”

Método	Cuándo usar	Mini-esquema
Sustitución	algo × f( algo )′	1) u=g(x)u = g(x)u=g(x) 2) Sustituyes y ajustas dududu.
Por partes	producto (polin.×log, polin.×trig…)	∫u dv=uv−∫v du∫u\,dv= u v – ∫v\,du∫udv=uv−∫vdu
Fracciones parciales	racional con grado(num)<grado(den)	Descompón en sumas A/(x-a) + …
Trigonometría	raíces √(a2−x2)√(a²−x²)√(a2−x2), tangentes…	Sustituciones seno/tan.

(Los pdf de ejercicios traen casos rubricados; copia el patrón que se repite más.)

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4. Integral definida y Teorema Fundamental

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\boxed{\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)}∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)​

donde FFF es cualquier primitiva de fff.

Contexto – simplifica: todo el “sumatorio infinitesimal” se reduce a dos evaluaciones.

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5. Área entre curvas

1. Busca la intersección f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) → límites.
2. Área = ∫x1x2[f(x)−g(x)] dx∫_{x_1}^{x_2} \bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx∫x1​x2​​[f(x)−g(x)]dx (arriba – abajo).
3. Si piden “entre función y eje”: usa |f(x)| o trocea intervalos donde cambia signo.

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6. Volúmenes de revolución (Ejes X o Y)

Método	Fórmula resumen	Cuándo
Discos	V=π∫ab[f(x)]2dxV = π∫_{a}^{b} [f(x)]^{2} dxV=π∫ab​[f(x)]2dx	Eje X; región sin hueco
Arandelas	V=π∫(R2−r2)dxV = π∫ (R^{2} – r^{2}) dxV=π∫(R2−r2)dx	Con “agujero”
Capas cilíndricas	V=2π∫xf(x)dxV = 2π∫ x f(x) dxV=2π∫xf(x)dx	Revolución alrededor eje Y

(Derivado en Tema 12 PDF: ejemplos del cono, esfera parcial.)

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7. Aproximación numérica exprés

Regla	Fórmula	Error típico
Trapecios	A≈h/2(y0+2y1+…+yn)A ≈ h/2 (y₀+2y₁+…+y_n)A≈h/2(y0​+2y1​+…+yn​)	O(h2)O(h²)O(h2)
Simpson	A≈h/3(y0+4y1+2y2+…+yn)A ≈ h/3 (y₀+4y₁+2y₂+…+y_n)A≈h/3(y0​+4y1​+2y2​+…+yn​) (n par)	O(h4)O(h^4)O(h4)

Útil cuando la primitiva no existe en forma elemental (ej.: ∫e^{−x²}).

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8. Errores frecuentes

Error	Solución directa
Olvidar + C en indefinida	Añade constante antes de pasar a otro paso
Cambiar signo del límite inferior al sustituir	Escribe siempre F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a) con paréntesis
Integrar potencia con n = –1 con fórmula general	Caso especial: ∫1/x = ln
No revisar quién va “arriba-abajo” en áreas	Dibuja mini-gráfica o tabla de valores