1. ¿Por qué “técnicas avanzadas”?

Hay funciones complicadas donde las reglas básicas (potencia, producto, cadena) se vuelven tediosas.
Estas tres técnicas acortan trabajo cuando:

Técnica	Cuándo brilla	Ejemplo típico
Logarítmica	potencias con variable en base y exponente	y=x xy=x^{\,x}y=xx
Implícita	x y y mezclados en la misma expresión	x2+y2=25x^2+y^2=25×2+y2=25
Paramétrica	curva descrita con parámetro t	x=cos⁡t,  y=sin⁡tx=\cos t,\; y=\sin tx=cost,y=sint

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2. Logarítmica: “bajar” exponentes antes de derivar

Pasos express

1. Aplica ln a ambos lados: ln⁡y=ln⁡f(x)\ln y = \ln f(x)lny=lnf(x).
2. Usa propiedades de los logaritmos para “desenredar”.
3. Deriva implícitamente: 1yy′=(ln⁡f(x))′\dfrac{1}{y}y’ = (\ln f(x))’y1​y′=(lnf(x))′.
4. Multiplica por y (= función original) para despejar y′y’y′.

Ejemplo flash – y=x xy = x^{\,x}y=xx

1. ln y = x ln x
2. Derivada: y′y=ln⁡x+1\frac{y’}{y} = \ln x + 1yy′​=lnx+1
3. y′=x x(ln⁡x+1)y’ = x^{\,x}(\ln x + 1)y′=xx(lnx+1)

Contexto – perfecta para productos largos de potencias tipo y=(3×2+1)5xy=(3x^2+1)^{5x}y=(3×2+1)5x.

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3. Derivación implícita

Cuando no puedes (o no quieres) despejar y:

• Deriva cada término respecto a x; cada vez que aparezca y, multiplica por y’ (regla de la cadena).
• Agrupa lo que lleve y’ a un lado → factoriza → despeja.

Ejemplo – Circunferencia x2+y2=25x^2 + y^2 = 25×2+y2=25

2x+2y y′=0⇒y′=−x/y2x + 2y\,y’ = 0 ⇒ y’ = -x / y2x+2yy′=0⇒y′=−x/y
Pendiente de la tangente en P(3,4): y’ = –3/4.

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4. Funciones paramétricas

Curva dada por x=f(t),  y=g(t)x=f(t),\; y=g(t)x=f(t),y=g(t). dydx=dy/dtdx/dt\boxed{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}}dxdy​=dx/dtdy/dt​​

• Segunda derivada d2y/dx2=ddt(dy/dx)/(dx/dt)d^2y/dx^2 = \dfrac{d}{dt}\bigl(dy/dx\bigr) \Big/ (dx/dt)d2y/dx2=dtd​(dy/dx)/(dx/dt).

Ejemplo – Círculo unitario x=cos⁡t,  y=sin⁡tx=\cos t,\; y=\sin tx=cost,y=sint

dx/dt=−sin⁡t,  dy/dt=cos⁡tdx/dt=-\sin t,\; dy/dt=\cos tdx/dt=−sint,dy/dt=cost
dy/dx=cos⁡t/(−sin⁡t)=−cot⁡tdy/dx = \cos t / (-\sin t) = -\cot tdy/dx=cost/(−sint)=−cott.

Aplicaciones – trayectorias en física (posición tiempo), gráficos de computación.

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5. Tangente y normal (versión rápida)

Curva descrita como	Pendiente tangente m	Recta normal
y = f(x)	m = f'(x₀)	y−y0=−1m(x−x0)y – y₀ = -\dfrac{1}{m}(x – x₀)y−y0​=−m1​(x−x0​)
Implícita F = 0	m = –F_x / F_y	usando derivación parcial
Paramétrica	m=(dy/dt)/(dx/dt)m = (dy/dt)/(dx/dt)m=(dy/dt)/(dx/dt)	lo mismo, en t = t₀

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6. Tasas relacionadas (Related Rates)

1. Escribe relación geométrica/física entre magnitudes.
2. Deriva implícitamente respecto a t.
3. Sustituye valores conocidos y resuelve la tasa buscada.

Ejemplo rápido – Radio inflándose: V=43πr3⇒dV/dt=4πr2 dr/dtV = \frac{4}{3}πr^3 ⇒ dV/dt=4πr^2\,dr/dtV=34​πr3⇒dV/dt=4πr2dr/dt.

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7. Errores frecuentes

Desliz	Cómo evitarlo
Olvidar el factor y’ al derivar implícitamente	Marca en rojo cada vez que derives y
Dividir por dx/dtdx/dtdx/dt cuando dx/dt=0dx/dt = 0dx/dt=0 (vertical)	Revisa puntos singulares aparte
No devolver y′y’y′ en términos de x, y	Sustituye y si es fácil (ej.: circunferencia)
Logarítmica: perder paréntesis en ln⁡(f(x)g(x))\ln( f(x)g(x) )ln(f(x)g(x)) = ln f + ln g