1. Visión global: “personalidad” de cada tipo

Familia	Dominio típico	Rasgos clave	Asíntotas frecuentes
Racionales  f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=Q(x)P(x)​	ℝ excepto raíces de QQQ	Picos ±∞ en los ceros de QQQ; puede tener oblicua	Verticales (ceros QQQ), horizontales u oblicuas
Exponenciales  ax,  ekxa^{x},\;e^{kx}ax,ekx (a>0)	ℝ	Crecen o decrecen muy rápido; nunca 0; siempre >0	Horizontal y=0y=0y=0
Logarítmicas  ln⁡x,  log⁡ax\ln x,\;\log_a xlnx,loga​x	x>0x>0x>0	Subida lenta; asíntota vertical en 0; atraviesa (1,0)	Vertical x=0x=0x=0
Trigonométricas  sen, cos, tan…	ℝ salvo divisiones tan/cot	Periódicas; sen/cos acotadas ±1	tan y sec: vertical cada π/2+kπ

Contexto – al reconocer la “familia” puedes adivinar dominio, comportamiento en ∞ y posibles asíntotas sin derivar todavía.

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2. Racionales: estrategia exprés de análisis

1. Dominio: Q(x)≠0Q(x)\neq0Q(x)=0.
2. Factoriza PPP y QQQ → simplifica (posible agujero removible).
3. Asíntotas:
   • Verticales: raíces de QQQ (tras simplificar).
   • Horizontales: compara grados nnn (num) y mmm (den).
     • n<mn<mn<m ⇒ y=0y=0y=0
     • n=mn=mn=m ⇒ y=y=y= coefn_nn​/coefm_mm​
     • n=m+1n=m+1n=m+1 ⇒ oblicua → haz división.
4. Derivada: regla del cociente → tabla de signos.

Mini-tip – Un agujero (0/0) se simplifica y queda punto excluido, pero NO es asíntota vertical.

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3. Exponenciales → dominan en ∞

• Crecimiento: base >1 ⇒ sube; 0<base<1 ⇒ baja.
• Derivada: (ekx)′=kekx(e^{kx})’ = k e^{kx}(ekx)′=kekx.
• Límites rápidos: lim⁡x→∞ ⁣xnekx=0,lim⁡x→∞ ⁣eax ebx=e(a+b)x\lim_{x→∞}\!\frac{x^n}{e^{kx}} = 0,\qquad \lim_{x→∞}\!e^{ax}\,e^{bx}=e^{(a+b)x}x→∞lim​ekxxn​=0,x→∞lim​eaxebx=e(a+b)x
• Ecuaciones tipo ax=ba^{x}=bax=b → usa log: x=ln⁡b/ln⁡ax = \ln b / \ln ax=lnb/lna.

Contexto – modelan crecimiento poblacional, radiactividad, interés compuesto continuo.

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4. Logarítmicas: la inversa lenta del exponencial

• Propiedades (imprescindibles en límites):
  • ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a + \ln bln(ab)=lna+lnb, ln⁡(ar)=rln⁡a\ln(a^r)=r\ln aln(ar)=rlna.
• Derivada: (ln⁡u)′=u′/u(\ln u)’ = u’/u(lnu)′=u′/u.
• Asíntota: vertical x=0x=0x=0.
• Log-lim trick: lim⁡x→0+ ⁣xx=e    xln⁡x  →  1\lim_{x→0^+}\!x^x = e^{\;\;x\ln x}\;→\;1x→0+lim​xx=exlnx→1
• Comparación de órdenes: ln⁡x\ln xlnx crece más lento que cualquier potencia xkx^kxk.

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5. Trigonométricas (ampliadas)

Función	Derivada	Período	Observa
sin⁡kx\sin kxsinkx	kcos⁡kxk\cos kxkcoskx	2π/k2π/k2π/k	acotada ±1
cos⁡kx\cos kxcoskx	−ksin⁡kx-k\sin kx−ksinkx	2π/k2π/k2π/k	idem
tan⁡x\tan xtanx	sec⁡2x\sec^2 xsec2x	π	verticales en π/2+kπ

Identidades útiles

• sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x = 1sin2x+cos2x=1.
• Cambio a productos para integrar: sin⁡Axcos⁡Bx=½[sin⁡(A−B)x+…]\sin Ax\cos Bx = ½[\sin(A−B)x+…]sinAxcosBx=½[sin(A−B)x+…].

Contexto – física ondulatoria, electrónica (señales periódicas), trigonometría avanzada.

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6. Mezclas — quién gana en límites

Crecimiento⇑  ekx  ≫  xn  ≫  ln⁡x\color{RoyalBlue}{\text{Crecimiento⇑}}\; e^{kx} \;\gg\; x^n \;\gg\; \ln xCrecimiento⇑ekx≫xn≫lnx

Lo exponencial domina. Al analizar x3e0.1x\dfrac{x^3}{e^{0.1x}}e0.1xx3​ en ∞ vale 0.
En 0+^++: lim⁡xkln⁡x=0\lim x^k\ln x = 0limxklnx=0.

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7. Ejemplo combinado paso a paso

Estudiar f(x)=x2exx2−1f(x)=\dfrac{x^2 e^{x}}{x^2-1}f(x)=x2−1x2ex​

1. Dominio: x≠±1x\neq±1x=±1.
2. Verticales: x=±1.
3. Horizontal u oblicua: exponencial ↑↑ → no hay horizontal; usa razón exponencial/polinomio → lim ∞ = ∞.
4. Derivada (producto + cociente) → tabla de signos (omitido aquí).
5. Boceto: crece rápido a ∞, cae a –∞ cuando x→−∞x\to-∞x→−∞ porque e^{x}→0.

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8. Errores frecuentes

Error	Recordatorio visual
Tratar ln⁡x\ln xlnx como definido en 0	Dom = x>0x>0x>0
Olvidar simplificar factor común en racional	Hazlo ANTES de buscar asíntotas
Exponencial con base <1 confundida con >1	0.5×0.5^{x}0.5x decrece
No usar identidad trig antes de integrar	Simplifica primitiva primero