1. Recordatorio vectorial en 3 D
Un vector v⃗=(v1,v2,v3)\vec v=(v_1,v_2,v_3)v=(v1,v2,v3).
- Módulo ∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}∣v∣=v12+v22+v32.
- Producto escalar a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3=∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ\vec a·\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec a||\vec b|\cos\thetaa⋅b=a1b1+a2b2+a3b3=∣a∣∣b∣cosθ.
- Producto vectorial a⃗×b⃗\vec a\times\vec ba×b da vector ⟂ a ambos; módulo = área del paralelogramo.
Contexto – Todo en rectas/planos se apoya en estos dos productos: uno mide ángulo, el otro perpendicularidad.
2. Rectas en el espacio
| Forma | Ecuación | Datos requeridos |
|---|
| Vectorial | r⃗=r⃗0+λd⃗\vec r = \vec r_0 + λ\vec dr=r0+λd | punto P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)P0(x0,y0,z0) + director d⃗(d1,d2,d3)\vec d(d_1,d_2,d_3)d(d1,d2,d3) |
| Paramétrica | x=x0+λd1, y=…, z=…x=x_0+λd_1,\;y=…,\;z=…x=x0+λd1,y=…,z=… | práctica para tablas |
| Continua | x−x0d1=y−y0d2=z−z0d3\dfrac{x-x_0}{d_1}=\dfrac{y-y_0}{d_2}=\dfrac{z-z_0}{d_3}d1x−x0=d2y−y0=d3z−z0 | resume en una línea |
Relaciones
- DOS rectas • Paralelas → directores proporcionales.
• Coincidentes → además comparten un punto.
• Cruzan / se cortan: resolver sistema paramétrico.
3. Planos
| Forma | Ecuación | Cómo obtenerla |
|---|
| General | Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 | vector normal n⃗=(A,B,C)\vec n=(A,B,C)n=(A,B,C) |
| Punto-normal | A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 | punto + normal |
| Paramétrica | r⃗=r⃗0+λu⃗+μv⃗\;\vec r =\vec r_0+λ\vec u+μ\vec vr=r0+λu+μv | dos vectores directores no paralelos |
Intersección
- Recta∩Plano → sustituye paramétricas de la recta en el plano → halla λλλ.
- Plano∩Plano → haz producto vectorial de normales = vector director de la recta intersección.
4. Distancias indispensables
| Caso | Fórmula compacta | Comentario |
|---|
| Punto P a plano Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 | (d=\dfrac{ | A x_P+By_P+C z_P+D |
| Punto a recta (r⃗0,d⃗)(\vec r_0,\vec d)(r0,d) | (d=\dfrac{ | (\vec P -\vec r_0)\times\vec d |
| Rectas paralelas | usa punto-recta | director común |
| Rectas alabeadas | (d=\dfrac{ | (\vec r_2-\vec r_1)·(\vec d_1\times\vec d_2) |
5. Ángulos
| Entre… | Fórmula | Criterio 90° |
|---|
| Dos rectas | (\cos\theta=\dfrac{\vec d_1·\vec d_2}{ | \vec d_1 |
| Recta y plano | (\sin\theta=\dfrac{ | \vec d·\vec n |
| Dos planos | usa sus normales: ángulo planos = ángulo normales | normales ⟂ ⇒ planos ⟂ |
6. Estrategias exprés de examen
- Si piden “plano que contiene recta y es ⟂ a otro”: usa director de recta + normal del otro como dos vectores del plano → normal = cross product.
- Distancia mínima punto–recta: proyecta vector unión sobre normal al director (fórmula punto-recta).
- Demostrar que cuatro puntos son coplanarios → volumen del tetraedro (triple producto mixto) = 0.
7. Errores frecuentes
| Error | Antídoto |
|---|
| Tomar director como normal para plano | Revisa: normal ⟂ plano, director ⟂ recta |
| Confundir producto escalar con vectorial | Escalar → número; vectorial → vector |
| Olvidar valores absolutos en distancias | Aplica |
| No comprobar si rectas se cortan (resolver lambdas) | Sustituye una en otra y verifica 3 ecuaciones |
