1. De discreto a continuo (recordatorio rápido)

• Variable continua: puede tomar infinitos valores en un intervalo (tiempo, temperatura).
• La probabilidad se mide con áreas bajo la densidad f(x)f(x)f(x); la probabilidad puntual P(X=c)=0P(X{=}c)=0P(X=c)=0.

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2. Distribución Normal N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^{2})N(μ,σ2)

Concepto	Detalle exprés
PDF	f(x)=1σ2π e−(x−μ)22σ2f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=σ2π​1​e−2σ2(x−μ)2​
Simetría	eje x=μx=\mux=μ
Regla 68-95-99,7	μ±σ (68 %), μ±2σ (95 %), μ±3σ (99,7 %)
Tipificación	Z=X−μσZ=\dfrac{X-\mu}{\sigma}Z=σX−μ​ → Z∼N(0,1)Z∼N(0,1)Z∼N(0,1)

Contexto – alturas, errores de medida, rendimiento de máquinas cuando intervienen muchos factores pequeños.

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3. Otras densidades continuas de uso escolar

Distribución	PDF	Aplicación típica
Uniforme U(a,b)U(a,b)U(a,b)	f(x)=1/(b−a)f(x)=1/(b-a)f(x)=1/(b−a)	instante aleatorio entre dos tiempos
Exponencial Exp(λ)Exp(λ)Exp(λ)	λe−λxλe^{-λx}λe−λx (x≥0)	tiempo entre fallos / colas

(Usa las propiedades de la integral: área total = 1.)

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4. Intervalos de confianza (IC) para la media con σ conocida

  xˉ  ±  zα/2σn  \boxed{\; \bar x \;±\; z_{\alpha/2}\dfrac{σ}{\sqrt n} \;}xˉ±zα/2​n​σ​​

• Nivel de confianza 1−α1-α1−α (habitual 95 % ⇒ z0.025=1.96z_{0.025}=1.96z0.025​=1.96).
• Si σ desconocida y n<30n<30n<30 ⇒ t-Student con n–1 g.l.

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5. Contrastes de hipótesis (paso a paso)

Paso	Explicación express
1. Plantear H₀ (hipótesis nula)	“La media es μ₀”
2. Definir H₁ (alternativa)	>>>, <<< o ≠≠= μ₀
3. Elegir estadístico	Z (σ conocida) o t (σ desconocida)
4. Región crítica	Usa zαz_{α}zα​ o tα, n−1t_{α,\,n-1}tα,n−1​ según cola(s)
5. Calcular valor-p o comparar con RC	valor-p = prob. de algo tan extremo bajo H₀
6. Conclusión	Rechazar o no rechazar H₀

Error I (α): rechazar H₀ siendo cierta.
Error II (β): no rechazar H₀ siendo falsa.

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6. Contraste para la media (σ conocida)

Z=xˉ−μ0σ/nZ=\frac{\bar x-\mu_0}{σ/\sqrt n}Z=σ/n​xˉ−μ0​​

• H₀: μ = μ₀
• H₁: μ ≠ μ₀ (bilateral) o μ > μ₀ / μ < μ₀ (unilateral)
• Rechaza si |Z| > zα/2z_{α/2}zα/2​ (bilateral).

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7. Contraste para la proporción (muestras grandes)

Z=p^−p0p0(1−p0)/nZ=\frac{\hat p – p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}Z=p0​(1−p0​)/n​p^​−p0​​

Contexto – comprobar si el porcentaje de defectuosos supera 3 %.

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8. Valor-p y toma rápida de decisión

• Valor-p = probabilidad (bajo H₀) de obtener estadístico tan extremo o más que el observado.
• Regla: valor-p ≤ α ⇒ rechaza H₀.
  (α habitual 0.05).

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9. Ejemplo completo (modo EVAU)

Enunciado – Se afirma que la masa media de un componente es 50 g con σ = 2 g. En una muestra de 36 piezas la media resultó 50.8 g. ¿Se puede afirmar al 5 % que la masa ha aumentado?

1. H₀: μ = 50 ; H₁: μ > 50
2. Z=50.8−502/√36=0.80.333=2.40Z = \dfrac{50.8-50}{2/√36}= \dfrac{0.8}{0.333}=2.40Z=2/√3650.8−50​=0.3330.8​=2.40
3. Región crítica unilateral: z0.05=1.645z_{0.05}=1.645z0.05​=1.645.
4. 2.40 > 1.645 ⇒ rechaza H₀.
5. Conclusión: evidencia suficiente para afirmar que la masa media > 50 g.

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10. Errores frecuentes

Desliz	Solución rápida
Confundir IC y contraste	IC decide si μ₀ está dentro; contraste usa estadístico
Olvidar condiciones normales (np, n(1−p)≥5) en proporciones	Verifica antes de aplicar Z
Usar bilateral cuando el enunciado dice “mayor que”	Observa la dirección de H₁
Poner “aceptar H₀”	Se dice “no se rechaza H₀”