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GEOMETRÍA DEL ESPACIO: RECTAS, PLANOS, DISTANCIAS Y ÁNGULOS 1. De discreto a continuo (recordatorio rápido) 2. Distribución Normal N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^{2})N(μ,σ2) Concepto Detalle exprés PDF f(x)=1σ2π e−(x−μ)22σ2f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=σ2π​1​e−2σ2(x−μ)2​ Simetría eje x=μx=\mux=μ Regla 68-95-99,7 μ±σ (68 %), μ±2σ (95 %), μ±3σ (99,7 %) Tipificación Z=X−μσZ=\dfrac{X-\mu}{\sigma}Z=σX−μ​ → Z∼N(0,1)Z∼N(0,1)Z∼N(0,1) Contexto – alturas, errores de medida, rendimiento de máquinas cuando intervienen muchos factores […]

GEOMETRÍA DEL ESPACIO: RECTAS, PLANOS, DISTANCIAS Y ÁNGULOS 1. Recordatorio vectorial en 3 D Un vector v⃗=(v1,v2,v3)\vec v=(v_1,v_2,v_3)v=(v1​,v2​,v3​). Contexto – Todo en rectas/planos se apoya en estos dos productos: uno mide ángulo, el otro perpendicularidad. 2. Rectas en el espacio Forma Ecuación Datos requeridos Vectorial r⃗=r⃗0+λd⃗\vec r = \vec r_0 + λ\vec dr=r0​+λd punto P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)P0​(x0​,y0​,z0​)

FUNCIONES AVANZADAS: RACIONALES, EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 1. Visión global: “personalidad” de cada tipo Familia Dominio típico Rasgos clave Asíntotas frecuentes Racionales  f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=Q(x)P(x)​ ℝ excepto raíces de QQQ Picos ±∞ en los ceros de QQQ; puede tener oblicua Verticales (ceros QQQ), horizontales u oblicuas Exponenciales  ax,  ekxa^{x},\;e^{kx}ax,ekx (a>0) ℝ Crecen o decrecen muy rápido; nunca 0;

DERIVACIÓN AVANZADA: LOGARÍTMICA, PARAMÉTRICA E IMPLÍCITA 1. ¿Por qué “técnicas avanzadas”? Hay funciones complicadas donde las reglas básicas (potencia, producto, cadena) se vuelven tediosas.Estas tres técnicas acortan trabajo cuando: Técnica Cuándo brilla Ejemplo típico Logarítmica potencias con variable en base y exponente y=x xy=x^{\,x}y=xx Implícita x y y mezclados en la misma expresión x2+y2=25x^2+y^2=25×2+y2=25 Paramétrica curva

INTEGRALES DEFINIDAS Y PRIMITIVAS: ÁREAS Y VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN 1. ¿Por qué integrar? 2. Primitivas: reglas imprescindibles Regla básica Fórmula Ejemplo rápido Potencia ∫xn dx=x n+1n+1+C\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + C∫xndx=n+1xn+1​+C (n ≠ –1) ∫x4dx=x5/5+C∫x^4 dx = x^5/5 + C∫x4dx=x5/5+C Raíz ∫xα dx∫ x^{α}\,dx∫xαdx con α > –1 ∫√x dx=2×3/2/3+C∫√x\,dx = 2x^{3/2}/3 + C∫√xdx=2×3/2/3+C seno/coseno ∫sin⁡kx=−cos⁡kx/k∫\sin kx =

ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL: REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN 1. ¿Por qué estudiar dos variables a la vez? Cuando cada individuo (persona, máquina, planta…) aporta dos medidas –por ejemplo horas de estudio y nota, temperatura y consumo eléctrico– queremos saber: 2. Datos brutos y tabla de frecuencias conjuntas x (variable 1) y (variable 2) Ejemplo práctico Horas de

COMBINATORIA Y PROBABILIDAD DISCRETA 1. ¿Por qué contar? Antes de calcular probabilidades necesitamos saber cuántos casos hay. La combinatoria ofrece reglas rápidas para contar arreglos, equipos o claves sin enumerar uno a uno. 2. Principios básicos de conteo Principio En qué consiste Ejemplo Adición “o” excluyente → sumar 5 camisetas rojas o 3 azules →

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO: VECTORES, RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS 1. El vector plano: “flecha” con dos números Un vector v⃗\vec vv se representa como un segmento orientado. En coordenadas cartesianas basta el par (v₁, v₂): de (0,0)(0,0)(0,0) al punto final. Contexto – Vectores resumen desplazamientos, fuerzas, velocidades sin repetir toda la historia de la trayectoria.

ESTUDIO COMPLETO DE FUNCIONES POLINÓMICAS, RACIONALES Y TRASCENDENTES BÁSICAS 1. Clasificación rápida y “personalidad” de cada familia Familia Ecuación tipo Rasgos característicos Ejemplo Polinómicas f(x)=anxn+…+a0f(x)=a_nx^n+…+a_0f(x)=an​xn+…+a0​ Continuas y derivables ∀x; ↑∣↓ dictado por grado/paridad y coef. líder x4−3×2+1x^4-3x^2+1×4−3×2+1 Racionales f(x)=P(x)/Q(x)f(x)=P(x)/Q(x)f(x)=P(x)/Q(x) Discontinuidades donde Q=0Q=0Q=0; posible asíntota oblicua (2x+1)/(x−2)(2x+1)/(x-2)(2x+1)/(x−2) Exponenciales f(x)=a xf(x)=a^{\,x}f(x)=ax (a>0) Crecimiento/decay continuo; nunca 0 3×3^{x}3x Logarítmicas

derivada: técnicas y aplicaciones 1. ¿Por qué derivar? La derivada mide la velocidad de cambio instantánea de una función: 2. Definición formal y notación Definición límite Notaciones habituales f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\displaystyle \lim_{h→0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}f′(a)=h→0lim​hf(a+h)−f(a)​ f′(x),  y′,  dydxf'(x),\; y’,\; \dfrac{dy}{dx}f′(x),y′,dxdy​ Contexto – se sustituye el incremento “pequeñísimo” hhh por 0 para capturar el cambio en ese punto. 3. Reglas de derivación