1. ¿Por qué contar?
Antes de calcular probabilidades necesitamos saber cuántos casos hay. La combinatoria ofrece reglas rápidas para contar arreglos, equipos o claves sin enumerar uno a uno.
2. Principios básicos de conteo
| Principio | En qué consiste | Ejemplo |
|---|---|---|
| Adición | “o” excluyente → sumar | 5 camisetas rojas o 3 azules → 8 formas |
| Multiplicación | “y” secuencial → multiplicar | 3 platos y 2 postres → 6 menús |
| Permutación | Reordenar todos los elementos | “ABC” tiene 3! = 6 órdenes |
3. Permutaciones
3.1 Sin repetición (n elementos distintos) Pn=n!P_n = n!Pn=n!
Un viaje por 4 ciudades distintas → 4! = 24 rutas posibles.
3.2 Con repetición
Si hay grupos repetidos k1,k2,…k_1, k_2,…k1,k2,… Pnrep=n!k1! k2! …P_{n}^{\text{rep}} = \frac{n!}{k_1!\,k_2!\,…}Pnrep=k1!k2!…n!
Palabra “MÁLAGA”: 6 letras con A 3 veces ⇒ 6!/3! = 120.
4. Variaciones (selecciones ordenadas)
| Tipo | Fórmula | Comentario |
|---|---|---|
| Sin repetición | Vn,k=n!(n−k)!V_{n,k} = \dfrac{n!}{(n-k)!}Vn,k=(n−k)!n! | elegir kkk de nnn orden importa |
| Con repetición | nkn^knk | PIN de 4 dígitos (10¹⁰⁴) |
5. Combinaciones (selecciones sin orden)
| Tipo | Fórmula | Uso frecuente |
|---|---|---|
| Sin repetición | Cn,k=(nk)=n!k!(n−k)!\displaystyle C_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}Cn,k=(kn)=k!(n−k)!n! | Lotería 6/49 |
| Con repetición | Cn+k−1,k=(n+k−1k)\displaystyle C_{n+k-1,k}=\binom{n+k-1}{k}Cn+k−1,k=(kn+k−1) | Repartir 12 caramelos en 3 niños |
6. Triángulo de Pascal & Binomio de Newton
- Filas dan los (nk)\binom{n}{k}(kn).
- Binomio (a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k(a+b)n=∑k=0n(kn)an−kbk.
Contexto: coeficientes en expansión de probabilidades (distribución binomial).
7. Probabilidad discreta clásica
| Concepto | Definición | Fórmula breve |
|---|---|---|
| Espacio muestral | Conjunto de casos igualmente posibles | n(S)n(S)n(S) |
| Suceso A | subconjunto de S | n(A)n(A)n(A) |
| Probabilidad | proporción favorable | P(A)=n(A)n(S)P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}P(A)=n(S)n(A) |
(Modelos: lanzar dado, extraer carta, etc.).
8. Distribución binomial B(n, p)
Contexto – n ensayos “éxito / fallo” independientes con prob. de éxito p. P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k
| Parámetro | Valor |
|---|---|
| Media | μ = np |
| Varianza | σ² = np(1–p) |
Ej.: 10 lanzamientos moneda justa → P(7 caras) = (107)0.510\binom{10}{7} 0.5^{10}(710)0.510.
9. Distribución hipergeométrica H(N, K, n)
Muestreo sin reemplazo en población finita. P(X=k)=(Kk)(N−K n−k )(Nn)P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}P(X=k)=(nN)(kK)(n−kN−K)
- N total, K éxitos en la población, n extracciones.
Sacar 3 ases en 5 cartas de una baraja de 40.
10. Distribución geométrica G(p)
Número de intentos hasta primer éxito. P(X=k)=(1−p)k−1p,k=1,2,…P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,…P(X=k)=(1−p)k−1p,k=1,2,…
Media μ = 1/p.
11. Esperanza y varianza de variable discreta
E(X)=∑xiP(xi);Var(X)=E(X2)−(E(X))2E(X)=\sum x_i P(x_i)\quad ; \quad Var(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2E(X)=∑xiP(xi);Var(X)=E(X2)−(E(X))2
Contexto – paga-nout de juegos, planificación de calidad.
12. Errores frecuentes
| Desliz | Solución expresa |
|---|---|
| Contar ordenado cuando no importa | Subraya la palabra “grupo / equipo” = combinación |
| Usar binomial con muestreo sin reemplazo y población pequeña | Cambiar a hipergeométrica |
| Olvidar (1-p)^{n-k} en term. binomial | Escribe fórmula completa antes de sustituir |