1. Clasificación rápida y “personalidad” de cada familia

Familia	Ecuación tipo	Rasgos característicos	Ejemplo
Polinómicas	f(x)=anxn+…+a0f(x)=a_nx^n+…+a_0f(x)=an​xn+…+a0​	Continuas y derivables ∀x; ↑∣↓ dictado por grado/paridad y coef. líder	x4−3×2+1x^4-3x^2+1×4−3×2+1
Racionales	f(x)=P(x)/Q(x)f(x)=P(x)/Q(x)f(x)=P(x)/Q(x)	Discontinuidades donde Q=0Q=0Q=0; posible asíntota oblicua	(2x+1)/(x−2)(2x+1)/(x-2)(2x+1)/(x−2)
Exponenciales	f(x)=a xf(x)=a^{\,x}f(x)=ax (a>0)	Crecimiento/decay continuo; nunca 0	3×3^{x}3x
Logarítmicas	f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x	Dom. x>0x>0x>0; suave subida, asíntota vertical en 0	ln⁡x\ln xlnx
Trigonométricas	sen, cos, tan…	Periódicas; amplitud y fase	2cos⁡(3x−π)2\cos(3x-\pi)2cos(3x−π)

Contexto – Saber “de qué tipo es” la función ayuda a prever dominio, límites y forma antes de derivar.

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2. Guion de análisis completo paso a paso

1. Dominio
   • Polinomio → ℝ completa.
   • Racional → excluye ceros de Q(x)Q(x)Q(x).
   • Log → x>0x>0x>0, raíces → interior de radical ≥0, etc.
2. Intersecciones
   • Eje Y: f(0)f(0)f(0) si 0∈dominio.
   • Eje X: resuelve f(x)=0f(x)=0f(x)=0.
3. Simetrías
   • f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) → par (simetría Y).
   • f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x) → impar (simetría origen).
4. Asíntotas
   • Verticales: puntos donde la función → ±∞.
   • Horizontales: lim⁡x→±∞f(x)=k\lim_{x→±∞}f(x)=klimx→±∞​f(x)=k.
   • Oblicuas: lim⁡x→±∞[f(x)−(mx+n)]=0\lim_{x→±∞}[f(x)-(mx+n)]=0limx→±∞​[f(x)−(mx+n)]=0.
5. Derivada primera
   • Zonas de crecimiento (+) / decrecimiento (–).
   • Máximos y mínimos locales (f’=0 y cambio de signo).
6. Derivada segunda
   • Concavidad y puntos de inflexión (f’’ cambia signo).
7. Tabla resumida
   • Combinar todo en una línea de signos con valores críticos ordenados.
8. Borrador de la gráfica
   • Marca ejes, simetrías, asíntotas, extremos e inflexiones; une suave según concavidad.

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3. Caso práctico completo por tipo

3.1 Polinómica de cuarto grado

f(x)=x4−4x2f(x)=x^4-4x^2f(x)=x4−4×2

• Dominio: ℝ.
• Cortes X: x=0,±2x=0, ±2x=0,±2.
• f’ = 4×3−8x=4x(x2−2)4x^3-8x=4x(x^2-2)4×3−8x=4x(x2−2) → raíces 0, ±√2.
• Signos f’: (−∞,−√2)↓(-\infty,-√2)↓(−∞,−√2)↓  (−√2,0)↑\;(-√2,0)↑(−√2,0)↑  (0,√2)↓\;(0,√2)↓(0,√2)↓  (√2,∞)↑\;(√2,∞)↑(√2,∞)↑.
• Máximos locales en x=0 (0,0). Mínimos locales en x=±√2.
• f’’ = 12×2−812x^2-812×2−8 → inflexiones en ±2/3±\sqrt{2/3}±2/3​.

3.2 Racional

g(x)=(2x+1)/(x−2)g(x)=(2x+1)/(x-2)g(x)=(2x+1)/(x−2)

• Dominio: ℝ{2}.
• Asíntota vertical x=2.
• División: g(x)=2+5x−2g(x)=2+\frac{5}{x-2}g(x)=2+x−25​ → asíntota oblicua y=2.
• f’ = −5/(x−2)2-5/(x-2)^2−5/(x−2)2 <0 en sus dominios → siempre decreciente.

3.3 Exponencial

h(x)=5e−0.3xh(x)=5e^{-0.3x}h(x)=5e−0.3x

• Dominio ℝ, límite 0 cuando x→∞x→∞x→∞ → asíntota horizontal y=0.
• Siempre positiva y decreciente (coef. negativo).

(Se siguen los mismos 8 pasos, pero muchos resultan inmediatos por la forma).

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4. Estrategias a medida

Familia	Trucos veloces
Polinomio alto grado	saca factor común; usa simetría si sólo potencias pares/impares.
Racional	factoriza num/den; posibles cancelaciones simplifican análisis.
Exponencial + polin.	exponencial domina en ∞: limita a 0 si base<1, explota si base>1.
Logarítmica	crece lentamente; para límites “log / potencias” la potencia domina.
Trigonométrica	examina un solo periodo y replica.

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5. Errores típicos y recordatorios

Error	Antídoto rápido
No excluir ceros de denominador en dominio	Escribe dominio antes de nada y subráyalo
Olvidar considerar ±∞ para asíntotas	Calcula límites en ambos sentidos
Solo usar derivada 1.ª para inflexiones	Debe cambiar concavidad (f’’ signo opuesto)
Mezclar raíces dobles con cambios de signo	En polinomios pares de multiplicidad no cambian signo