1. Función exponencial básica

Forma	Elementos	Observaciones
y = a^x  (a > 0, a ≠ 1)	a → base x → exponente	Pasa por (0, 1). Si a > 1 la curva crece; si 0 < a < 1 decrece.

1.1 Propiedades clave

• a^(x + h) = a^x × a^h
• a^(x – h) = a^x / a^h
• (a^x)^k = a^(x k)

1.2 Transformaciones

Cambio	Efecto en la gráfica
y = a^(x – p)	desplaza p unidades a la derecha
y = a^(x) + q	desplaza q unidades arriba
y = –a^x	reflexión en eje X

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2. Función logarítmica (inversa de la exponencial)

Forma	Condiciones	Características
y = log_a (x)	a > 0, a ≠ 1 ; x > 0	Pasa por (1, 0). Es espejo de y = a^x respecto a y = x.

2.1 Propiedades operativas

Propiedad	Ejemplo
log_a (MN) = log_a M + log_a N	log(50) = log 5 + log 10
log_a (M/N) = log_a M – log_a N	log(2/8) = log 2 – log 8
log_a (M^k) = k × log_a M	ln(e^3) = 3 ln e = 3
Cambio de base	log_b M = log M / log b

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3. Ecuaciones típicas

3.1 Exponenciales
a^(px + q) = b → aplica log.
Ej.: 5^(2x – 1) = 125 → 5^(2x – 1) = 5^3 → 2x – 1 = 3 → x = 2.

3.2 Logarítmicas
log (x – 1) + log (x + 3) = 1
→ log[(x – 1)(x + 3)] = 1
→ (x – 1)(x + 3) = 10
→ x^2 + 2x – 13 = 0 → x = –1 ± √14 (elige x > 1 para que el log exista).

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4. Modelos y aplicaciones

Contexto	Modelo	Variables
Crecimiento poblacional	P = P0 × a^t	a = 1 + r (r en decimal)
Interés compuesto	C_f = C0 × (1 + r/n)^(n t)	n = capitalizaciones/año
Radioactividad	N = N0 × e^(–k t)	k = constante de decaimiento
pH químico	pH = –log [H⁺]	[H⁺] en mol/L

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5. Derivadas básicas (nivel enlace con bachillerato)

Función	Derivada (x en radianes)
e^x	e^x
a^x	a^x × ln a
ln x	1 / x
(Solo si lo pide el profesor; omitir en ejercicios de 4.º ESO básicos.)

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6. Errores frecuentes y prevención

Error	Por qué surge	Antídoto
log 0 o log negativo	Argumento ≤ 0	Dominios: solo x > 0
a^0 es 0	Confusión de concepto	Recordar a^0 = 1
Sumar exponentes con bases distintas	Reglas solo valen si la base es la MISMA	Factoriza o usa log