1. ¿Qué es inferencia estadística?

Cuando NO podemos medir a toda la población (total de alumnos del país, todas las piezas de una fábrica), tomamos una muestra y, a partir de ella, estimamos parámetros desconocidos (media μ, proporción p…).

• Estimador puntual → un número (x̄, p̂) calculado con la muestra.
• Estimador por intervalo → rango de valores plausibles donde esperamos que caiga el parámetro.

Idea clave: el intervalo de confianza (IC) traduce la incertidumbre de la muestra en una “franja” con un nivel de confianza elegido (por ejemplo 95 %).

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2. Error típico y distribución muestral

Contexto – Si repetimos muestreo, x̄ variará; su variabilidad se mide con el error estándar (E.E.).

Parámetro a estimar	Estadístico	Error estándar (σ poblacional conocida)
Media μ	x̄	E.E. = σ / √n
Proporción p	p̂	E.E. = √[ p̂(1–p̂) / n ]

(Cuando σ es desconocida, se sustituye por la desviación típica muestral s y se usa la t-de Student.)

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3. Distribuciones de referencia

Situación	Distribución	Cuándo se aplica
n ≥ 30 o población normal y σ conocida	Normal estándar Z	z = (x̄ – μ) / (σ/√n)
σ desconocida y n pequeño	t de Student	t = (x̄ – μ) / (s/√n)
Proporción con n p̂ ≥ 10 y n(1–p̂) ≥ 10	Normal para p̂	aproximación al 5 % o 95 %

Valores críticos habituales (dos colas): Z0.95 = 1.96 ; t depende de gl = n–1 (tabla).

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4. Fórmulas del intervalo de confianza

Parámetro	IC al 1–α (%)	Contexto
Media (σ conocida)	x̄ ± Z_{α/2} · σ/√n	Control de calidad con desviación histórica
Media (σ desconocida)	x̄ ± t_{α/2, n–1} · s/√n	Experimentos con n < 30
Proporción p	p̂ ± Z_{α/2} · √[ p̂(1–p̂)/n ]	Encuestas de opinión

(Nivel 95 % → α = 0.05 → Z_{α/2}=1.96.)

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5. Interpretación correcta del 95 % de confianza

“Si repitiéramos el muestreo muchas veces, ≈ 95 % de los intervalos construidos de esta manera contendrán el verdadero parámetro”.
No significa que “hay 95 % de probabilidad de que μ esté dentro de este intervalo” (μ es fijo, lo que varía es el intervalo).

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6. Tamaño de muestra necesario

Para un error máximo tolerado E:

Parámetro	Fórmula de n (aprox.)
Media	n ≥ (Z_{α/2} · σ / E)^2
Proporción (peor caso p=0.5)	n ≥ (Z_{α/2} / (2E))^2

Permite planificar encuestas antes de salir a recoger datos.

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7. Errores frecuentes y cómo evitarlos

Error	Explicación	Antídoto
Usar Z en lugar de t cuando σ es desconocida y n pequeño	Subestima la variabilidad	Si n < 30 → t de Student
Olvidar dividir σ por √n	Confunde desviación poblacional con error estándar	Escribe fórmula completa antes de números
Intervalo imposible (>1 o <0) en proporciones	muestrita muy pequeña o p̂ extremo	Amplía n o usa métodos corregidos