PROBABILIDAD CONTINUA: DISTRIBUCIONES UNIFORME Y NORMAL
1. De discreto a continuo: cambio de chip
En el mundo discreto contamos resultados (bolas rojas, caras).
En el continuo medimos magnitudes que pueden tomar infinitos valores dentro de un intervalo (temperatura, peso, tiempo).
- La probabilidad de un valor exacto es 0.
- Trabajamos con densidades (funciones f(x)) y áreas bajo la curva.
2. Variable aleatoria continua: conceptos clave
| Concepto | Definición práctica | Nota |
|---|---|---|
| f(x) | función de densidad (PDF) | f(x) ≥ 0 ; área total = 1 |
| F(x) | función de distribución (CDF) | F(x)=∫_{–∞}^{x} f(t) dt |
| Prob. entre a y b | P(a ≤ X ≤ b) = ∫_{a}^{b} f(x) dx | área bajo la curva |
3. Distribución uniforme continua U(a, b)
Contexto – Incertidumbre “plana”: cualquier valor del intervalo [a, b] es igual de probable (ej.: momento exacto de llegada dentro de una franja).
| Propiedad | Fórmula | Explicación |
|---|---|---|
| Densidad | f(x) = 1/(b–a) si a ≤ x ≤ b | altura constante |
| CDF | F(x) = (x–a)/(b–a) | proporción del intervalo |
| Media | μ = (a + b) / 2 | centro del intervalo |
| Varianza | σ² = (b – a)² / 12 | depende solo del ancho |
Ejemplo – Bus se espera entre 0 y 10 min ⇒ U(0, 10)
- P(esperar ≤ 4 min) = (4–0)/10 = 0.4
- Tiempo medio = 5 min.
4. Distribución normal N(μ, σ²)
Contexto – Fenómenos con muchos factores pequeños e independientes (errores de medida, alturas) tienden a la “curva de campana”.
| Característica | Descripción |
|---|---|
| f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp[ – (x–μ)² / (2σ²) ] | |
| Simetría | centrada en μ |
| Puntos de inflexión | μ ± σ |
| Media, mediana, moda | coinciden en μ |
4.1 Normal estándar Z → N(0, 1).
Transformación: Z=X–μσZ = \frac{X – μ}{σ}Z=σX–μ
Permite usar tabla Z para cualquier normal.
4.2 Regla empírica 68-95-99.7
| Rango | Prob. aprox. |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68 % |
| μ ± 2σ | 95 % |
| μ ± 3σ | 99.7 % |
5. Cálculo de probabilidades con la normal
Pasos
- Convertir X → Z.
- Buscar Z en tabla (o calculadora).
- Restar/combinar áreas para intervalos.
Ejemplo
Alturas N(170, 10²). P(X > 185)
→ Z = (185–170)/10 = 1.5
→ P(Z > 1.5) = 1 – 0.9332 = 0.0668 ≈ 6.7 %.
6. Aproximación normal a binomial (puente discreto-continuo)
Si n grande y p no extremo:
- μ = np ; σ = √(np(1–p)).
Corrección de continuidad: agrega ±0.5 antes de estandarizar.
Ej.: B(100, 0.4) P(X ≤ 45) → Z con 45.5.
7. Errores frecuentes y soluciones
| Error | Por qué ocurre | Cómo evitarlo |
|---|---|---|
| Usar prob. puntual en continuo (P(X=5)) | Área en un punto es 0 | Pregunta siempre “entre” o “mayor que” |
| Olvidar Z negativo en tabla | Muchas tablas solo dan Z ≥ 0 | Usa simetría: P(Z≤ –k) = 1–P(Z≤ k) |
| No aplicar 0.5 en aproximación | Diferencia discreto/continuo | Escribe “+0.5” visualmente antes de dividir |