SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
1. ¿Por qué estudiar sistemas?
En muchos problemas reales (mezclas, intersecciones, puntos óptimos) aparecen varias incógnitas ligadas por varias condiciones. Resolver un sistema es encontrar los valores que satisfacen todas las ecuaciones (o inecuaciones) al mismo tiempo.
2. Sistemas lineales
2.1 Lineales 2 × 2 (repaso exprés)
Ya trabajados en 3.º ESO: métodos de sustitución, igualación, reducción, interpretación gráfica (rectas).
- Solución única ↔ rectas que se cortan.
- 0 soluciones ↔ rectas paralelas.
- ∞ soluciones ↔ rectas coincidentes.
2.2 Lineales 3 × 3
| Método | Idea básica | Pasos cortos |
|---|---|---|
| Eliminación gaussiana | Convertir el sistema en “escalera” | 1) Intercambia filas si conviene. 2) Anula incógnitas bajo un pivote con multiplicaciones y restas. 3) Usa sustitución hacia arriba. |
| Regla de Cramer | Determinantes | Sólo si det ≠ 0; x = det_x / det, etc. |
Contexto – Eliminar variables paso a paso copia la lógica de balancear ecuaciones químicas o circuitos eléctricos 3D.
3. Sistemas no lineales sencillos
| Tipo | Ejemplo | Estrategia |
|---|---|---|
| Lineal + cuadrática | y = 2x + 1 ; x² + y² = 25 | Sustituye y → ecuación de 2.º grado; dos, una o cero intersecciones (recta–circunferencia). |
| Dos cuadráticas | parábola y = x² și círculo | Igualación o graficado asistido. |
Contexto – Intersecar curvas es vital en diseño gráfico (corte de rieles, CNC).
4. Inecuaciones (una sola variable)
| Forma | Procedimiento | Resultado |
|---|---|---|
| ax + b > 0 | Aíslas x | Intervalo abierto |
| ax² + bx + c ≥ 0 | 1) Factoriza o usa fórmula 2) Estudia signos en tabla | Unión de intervalos |
4.1 Tabla de signos básica (cuadrática)
- Coloca raíces ordenadas.
- Señala el signo de a fuera y alterna.
5. Sistemas de inecuaciones (una variable)
Contexto – Restricciones de diseño: temperatura entre 15 °C y 25 °C → sistema 15 ≤ T ≤ 25.
| Pasos | Ejemplo ilustrativo |
|---|---|
| 1. Resuelve cada inecuación por separado | x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3 ; 2x + 1 < 7 → x < 3 |
| 2. Representa intervalos en la recta | [3, ∞) ∩ (–∞, 3) |
| 3. Interseca (o une, según “y” / “o”) | Resultado vacío ∅ (no hay x que cumpla ambas) |
6. Inecuaciones con valor absoluto
| Forma | Interpretación | Resolución |
|---|---|---|
| x – a | < k | |
| x – a | ≥ k |
(Contexto: tolerancia de piezas ±0.05 mm).
7. Inecuaciones racionales
Procedimiento completo
- Pasa todo a LHS → 0 en RHS.
- Factoriza numerador y denominador.
- Determina puntos críticos: raíces y donde denom = 0.
- Haz tabla de signos; recuerda que denominador = 0 excluye el punto (se usa “o” abierto).
Ej.: (x–2)/(x+1) ≥ 0
- Críticos: –1 (∅), 2.
- Signos: (–∞,–1) + ; (–1,2) – ; (2,∞) +.
- Sol: (–∞,–1) ∪ [2,∞).
8. Sistemas lineales + inecuaciones (regiones en el plano)
| Paso | Herramienta | Comentario |
|---|---|---|
| Representa cada recta | Ecuación → línea sólida/punteada | puntada si “<” o “>” |
| Sombrea el semiplano | prueba un punto | uso de color distinto |
| Región solución = intersección | zona común | Muy usado en programación lineal (optimizar coste). |
9. Errores frecuentes
| Error habitual | Reparación inmediata |
|---|---|
| Multiplicar inecuación por número negativo sin cambiar signo | Añade regla “si ×(–) → invierte > en <” en tu formularrio |
| Olvidar excluir raíces del denominador | Encierra en ( ) en tabla: punto NO incluido |
| Mezclar unión ∪ y intersección ∩ | Recuerda: “y” = intersección; “o” = unión |