1. ¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es una lista ordenada de números {a1,a2,a3,…}\{a₁, a₂, a₃, …\}{a1​,a2​,a3​,…} donde cada término ocupa una posición fija nnn.

• Importancia: describe fenómenos discretos (poblaciones año a año, cuotas mensuales, etc.).
• Maneras de definirla:
  1. Explícita – fórmula directa ana_nan​.
  2. Recursiva – cada término se calcula a partir del anterior.

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2. Progresión aritmética (P.A.)

Contexto – Cuando una magnitud crece o decrece en “saltos” constantes (ahorro fijo cada mes, conteo escalonado).

2.1 Definición
Término general: an  =  a1  +  (n−1)da_n \;=\; a_1 \;+\; (n-1)dan​=a1​+(n−1)d

d = diferencia común.

2.2 Suma de los n primeros términos Sn  =  n2 (a1+an)S_n \;=\; \frac{n}{2}\,\bigl(a_1 + a_n\bigr)Sn​=2n​(a1​+an​)

Dato que sabes	Paso para hallar d
Dos términos cualesquiera	d = (a_k – a_m)/(k – m)

Ejemplo – Ahorro de 50 € el 1.er mes aumentando 10 € cada mes:
a₆ = 50 + 5·10 = 100 € ; S₆ = 6/2 × (50+100) = 450 €.

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3. Progresión geométrica (P.G.)

Contexto – Modela procesos que se multiplican por un factor fijo (bacterias que se duplican, capital que gana un % constante).

3.1 Definición an  =  a1 r n−1a_n \;=\; a_1\,r^{\,n-1}an​=a1​rn−1

r = razón (factor multiplicativo).

3.2 Suma de los n primeros términos (r ≠ 1) Sn  =  a1 1−r n1−rS_n \;=\; a_1\,\frac{1-r^{\,n}}{1-r}Sn​=a1​1−r1−rn​

Ejemplo – Brote bacteriano que duplica población cada hora (a₁ = 500):
a₄ = 500 × 2^3 = 4 000 ; S₄ = 500(1–2^4)/(1–2) = 7 500.

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4. Sucesiones especiales

4.1 Fibonacci F1=1,F2=1,Fn=Fn−1+Fn−2F₁=1, F₂=1, F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}F1​=1,F2​=1,Fn​=Fn−1​+Fn−2​. Modelo de crecimiento “con memoria” (biología, informática).

4.2 Sucesión factorial n! = n × (n−1) × … × 1. Aparece en conteo de permutaciones.

(Estos casos no son P.A. ni P.G., pero muestran cómo las reglas recursivas generan patrones poderosos.)

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5. Límite y convergencia básica

Contexto – Para saber si una sucesión “se estabiliza” al crecer n.

Sucesión	Comportamiento
a_n = 1/n	Limite = 0 (converge)
a_n = (1 + 1/n)^n	Tiende a e ≈ 2.718
a_n = (–1)^n	No converge (oscila)

Criterio rápido: si |r|<1 en P.G., entonces a_n→0 y S∞ = a₁/(1–r).

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6. Interés compuesto

Por qué – El dinero gana intereses sobre capital + intereses previos, formando una P.G.

6.1 Capitalización m veces al año Ct  =  C0 (1+rm)m tC_t \;=\; C_0 \,\Bigl(1 + \tfrac{r}{m}\Bigr)^{m\,t}Ct​=C0​(1+mr​)mt

Símbolo	Significado
C₀	capital inicial
r	tipo anual (decimal)
m	nº de capitalizaciones por año
t	años

6.2 Interés compuesto continuo
Cuando m→∞: Ct=C0 ertC_t = C_0\,e^{r t}Ct​=C0​ert.

6.3 Doble uso de logaritmos
Para hallar el tiempo t necesario: t=ln⁡(Ct/C0)ln⁡(1+r/m)ot=ln⁡(Ct/C0)r  (si es continuo)t = \frac{\ln(C_t/C_0)}{\ln(1 + r/m)} \quad \text{o} \quad t = \frac{\ln(C_t/C_0)}{r}\;(\text{si es continuo})t=ln(1+r/m)ln(Ct​/C0​)​ot=rln(Ct​/C0​)​(si es continuo)

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7. Comparación progresión vs. interés

Situación	Fórmula	Crecimiento
Ahorro fijo mensual	P.A. con d = cantidad fija	lineal
Depósito bancario al 5 % anual	P.G. con r = 1.05	exponencial
Hipoteca cuota constante + amortización	mezcla P.A./P.G.	—

(Contexto ayuda a elegir el modelo adecuado en problemas reales.)

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8. Errores frecuentes

Error	Explicación	Cómo evitarlo
Usar P.A. cuando el aumento es %	Confundir sumas con factores	Lee “por ciento” = multiplica
R mal expresado (5 % = 5)	r debe ser decimal	5 % → 0.05
Olvidar –r en denominador de S_n	Signo cambia todo	Copia fórmula completa antes de números